Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2），將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A₁BC₁，有一條拋物線經(jīng)過點A，且它的頂點為A₁．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）該拋物線是否經(jīng)過點C₁，請說明理由；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，|QC-QC₁|有最大值，若存在，請求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得頂點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得C₁，根據(jù)點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，點在函數(shù)圖象上，可得答案；
（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得C₂，根據(jù)三角形的性質(zhì)，可得Q在直線CC₂，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解答 解：（1）∵點A（-1，0），B（4，0），
∴AB=5得拋物線頂點A₁（4，5）
設(shè)該拋物線解析式為y=a（x-4）²+5
將點A（-1，0）代入，解得a=-$\frac{1}{5}$
∴該拋物線的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{5}$（x-4）²+5；
（2）過點C₁作C₁D⊥A₁B于點D
，
∴∠C₁DB=∠COB=90°
在△C₁DB和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{1}BD=CBO}\\{{C}_{1}DB=∠COB}\\{{C}_{1}B=CB}\end{array}\right.$
∴△C₁DB≌△CBO
∴BD=BO=4，C₁D=CO=2
∴C₁（6，4）
將x=6代入拋物線解析式求得$y=\frac{21}{5}≠4$，
∴拋物線不經(jīng)過點C₁；
（3）延長C₁D至點C₂，使C₂D=C₁D，利用對稱性，得到點C₂（2，4）
連接CC₂，并延長使它與直線A₁B交于點Q，
∵三角形兩邊之差小于第三邊
∴此時|QC-QC₁|有最大值為CC₂的長；
求得：直線CC₂的解析式為y=x+2
∴當(dāng)x=4時，求得點Q（4，6）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法，解（2）的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出C₁的坐標(biāo)；解（3）的關(guān)鍵是利用三角形的性質(zhì)得出Q在直線CC上，又利用了線段垂直平分線的性質(zhì)．