Question

9．已知y=（k+2）${x}^{{k}^{2}+k-4}$+2x+3是二次函數(shù)，且函數(shù)圖象有最高點(diǎn)．
（1）求k的值和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若圖象與x軸交點(diǎn)為A．B，與y軸交點(diǎn)為C，求△ABC面積．
（3）若以AB為直徑的圓D與y軸相交于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的定義得出k²+k-4=2，再利用函數(shù)圖象有最高點(diǎn)，得出k+2＜0，即可得出k的值，利用k的值得出二次函數(shù)的解析式，利用頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求出（1）中拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可計(jì)算△ABC面積；
（3）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可知圓心D的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出OE的長(zhǎng)，可確定點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵y=（k+2）xk2+k-4+2x+3是二次函數(shù)，
∴k²+k-4=2，
k²+k-6=0，
∴（k+3）（k-2）=0，
∴k=-3或k=2，
∵函數(shù)圖象有最高點(diǎn)，
∴k+2＜0，
當(dāng)k=-3時(shí)，k+2=-1＜0，符合要求，
當(dāng)k=2時(shí)，k+2=4＞0，不符合要求，舍去；
∴二次函數(shù)解析式為：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4）；
（2）令y=0，則0=-x²+2x+3，解得x₁=-1，x₂=3，
∴AB=4，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴OC=3
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）∵A（-1，0），B（3，0）
∴D（1，0）
∵以AB為直徑的圓D與y軸相交于點(diǎn)E，
∴OD=1，DE=2，
∴OE=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，$\sqrt{3}$）或（0，-$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的定義、二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)以及數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．