Question

4．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒4cm的速度沿折線A-C-B-A運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．
（1）若點P在AC上，且滿足PA=PB時，求出此時t的值；
（2）若點P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值；
（3）在運動過程中，直接寫出當(dāng)t為何值時，△BCP為等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）設(shè)存在點P，使得PA=PB，此時PA=PB=4t，PC=8-4t，根據(jù)勾股定理列方程即可得到t的值；
（2）過P作PE⊥AB，設(shè)CP=x，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理列方程式進行解答即可；
（3）分類討論：當(dāng)CP=CB時，△BCP為等腰三角形，若點P在AC上，根據(jù)AP的長即可得到t的值，若點P在AB上，根據(jù)P移動的路程易得t的值；當(dāng)PC=PB時，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，則可判斷PD為△ABC的中位線，則AP=$\frac{1}{2}$AB=5，易得t的值；當(dāng)BP=BC=6時，△BCP為等腰三角形，易得t的值．

解答 解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴由勾股定理得AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
如圖，連接BP，
當(dāng)PA=PB時，PA=PB=4t，PC=8-4t，
在Rt△PCB中，PC²+CB²=PB²，
即（8-4t）²+6²=（4t）²，
解得：t=$\frac{25}{16}$，
∴當(dāng)t=$\frac{25}{16}$時，PA=PB；

（2）解：如圖1，過P作PE⊥AB，
又∵點P恰好在∠BAC的角平分線上，且∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴CP=EP，
∴△ACP≌△AEP（HL），
∴AC=8cm=AE，BE=2，
設(shè)CP=x，則BP=6-x，PE=x，
∴Rt△BEP中，BE²+PE²=BP²，
即2²+x²=（6-x）²
解得x=$\frac{8}{3}$，
∴CP=$\frac{8}{3}$，
∴CA+CP=8+$\frac{8}{3}$=$\frac{32}{3}$，
∴t=$\frac{32}{3}$÷4=$\frac{8}{3}$（s）；

（3）①如圖2，當(dāng)CP=CB時，△BCP為等腰三角形，
若點P在CA上，則4t=8-6，
解得t=$\frac{1}{2}$（s）；
②如圖3，當(dāng)BP=BC=6時，△BCP為等腰三角形，
∴AC+CB+BP=8+6+6=20，
∴t=20÷4=5（s）；
③如圖4，若點P在AB上，CP=CB=6，作CD⊥AB于D，則根據(jù)面積法求得CD=4.8，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=3.6，
∴PB=2BD=7.2，
∴CA+CB+BP=8+6+7.2=21.2，
此時t=21.2÷4=5.3（s）；
④如圖5，當(dāng)PC=PB時，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，則D為BC的中點，
∴PD為△ABC的中位線，
∴AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴AC+CB+BP=8+6+5=19，
∴t=19÷4=$\frac{19}{4}$（s）；
綜上所述，t為$\frac{1}{2}$s或5.3s或5s或$\frac{19}{4}$s時，△BCP為等腰三角形．

點評 本題以動點問題為背景，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計算以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，進行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．解題時需要作輔助線構(gòu)造直角三角形以及等腰三角形．