Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，已知點M（2，-3）、N（6，-3），連接MN，如果點P在直線y=-x+1上，且點P到直線MN的距離不小于1，那么稱點P是線段MN的“疏遠點”．
（1）判斷點A（2，-1）是否是線段MN的“疏遠點”，并說明理由；
（2）若點P（a，b）是線段MN的“疏遠點”，求a的取值范圍；
（3）在（2）的前提下，用含a的代數(shù)式表示△MNP的面積S_△MNP，并求S_△MNP的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出A到MN的距離，再判斷即可；
（2）根據(jù)“疏遠點”的意義求出b的范圍，再代入求出a的范圍即可；
（3）根據(jù)“疏遠點”的意義得出S_△MNP=$\frac{1}{2}$×4×|-a-（-3）|，再去掉絕對值符號即可．

解答 解：（1）點A（2，-1）是線段MN的“疏遠點”，并說明理由
理由是：∵M（2，-3）、N（6，-3），A（2，-1），
∴A到直線MN的距離為-1-（-3）=2＞1，
∵點P到直線MN的距離不小于1，那么稱點P是線段MN的“疏遠點”，
∴點A（2，-1）是線段MN的“疏遠點”；

（2）∵點P（a，b）是線段MN的“疏遠點”，M（2，-3）、N（6，-3），
∴|b-（-3）|≥1，
∴b≥-1或b≤-4，
代入y=-x+1得：-a+1≥-1或-a+1≤-4，
解得：a≤2或a≥3，
即a的取值范圍是a≤2或a≥3；

（3）∵M（2，-3）、N（6，-3），
∴MN=6-2=4，
∴S_△MNP=$\frac{1}{2}$×4×|-a-（-3）|
=$\left\{\begin{array}{l}{8-2a（a≤2）}\\{2a-8（a≥3）}\end{array}\right.$
S_△MNP的最小值是$\frac{1}{2}×4×1$=2．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的特征，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，能根據(jù)“疏遠點”的意義列出算式是解此題的關(guān)鍵．