Question

19．如圖，已知△ABC和△ADC是以AC為公共底邊的等腰三角形，E、F分別在AD和CD上，已知∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC=2∠EBF．
（1）求證：EF=AE+FC；
（2）若點(diǎn)E、F在直線AD和CD上，則是否有類似的結(jié)論？

Answer 1

分析 （1）首先證明∠DAC=∠DCB=90°，將△BCF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BAM，只要證明△EBF≌△EBM，即可解決問(wèn)題．
（2）分兩種情形畫出圖形，寫出結(jié)論即可．

解答 （1）證明：∵DA=DC，BA=BC，
∴∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，
∴∠DAB=∠DCB，
∵∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠DAB=∠DCB=90°，
將△BCF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△BAM．

∵∠EBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ABE+∠FBC=∠ABE+∠ABM=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠EBM=∠EBF，
在△EBF和△EBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=EB}\\{∠EBM=∠EBF}\\{BM=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△EBM，
∴EF=EM，
∵EM=AE+AM=AE+CF，
∴EF=AE+CF．

（2）有類似的結(jié)論：①如圖2中，當(dāng)E在AD延長(zhǎng)線時(shí)，F(xiàn)在DC延長(zhǎng)線上時(shí)，EF=AE-CF．

②如圖3中，當(dāng)E在DA延長(zhǎng)線時(shí)，F(xiàn)在CD延長(zhǎng)線上時(shí)，EF=CF-AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，注意圖形發(fā)生改變，結(jié)論類似，這類題目屬于中考�？碱}型．