Question

6．（1）已知方程x²-3x-1=0的兩根為x₁和x₂，求（x₁-3）（x₂-3）的值．
（2）若關(guān)于x的一元二次方程x²-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用韋達定理求得x₁+x₂ 和x₁x₂的值，再根據(jù)（x₁-3）（ x₂-3）=x₁ x₂ -3（x₁+x₂）+9，計算求得結(jié)果．
（2）一元二次方程x²-x+a-4=0的一根大于零，另一根小于零，則根的判別式大于0，兩根之積小于0，解不等式即可．

解答 解：（1）∵方程x²-3x-1=0的兩根為x₁和x₂，
∴x₁+x₂ =3，x₁x₂=-1，
故（x₁-3）（ x₂-3）=x₁ x₂ -3（x₁+x₂）+9=-1-3×3+9=-1．
（2）根據(jù)題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{1-4（a-4）＞0}\\{a-4＜0}\end{array}\right.$，
解得：a＜4．
所以若關(guān)于x的一元二次方程x²-x+a-4=0的一根大于零，另一根小于零時，實數(shù)a的取值范圍為：a＜4．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系．