Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第一、三象限的角平分線．
（1）實(shí)驗(yàn)與探究
由圖觀察易知點(diǎn)A（0，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，0），請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B（5，3）、C（-2，5），E（-1，-4）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′、C′，E′的位置，并寫(xiě)出它們的坐標(biāo)：B′（3，5）、C′（5，-2），E′（-4，-1）；
（2）歸納與發(fā)現(xiàn)：
結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（b，a）（不必證明）；
（3）運(yùn)用與拓廣：
已知兩點(diǎn)D（1，-3）、B（5，3），試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、B兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可，然后寫(xiě)出坐標(biāo)．
（2）觀察（1）中結(jié)論得出結(jié)論即可．
（3）連接DB′交直線l于Q，此時(shí)DQ+BQ最�。�求出直線DB′的解析式，解方程組即可求出點(diǎn)Q坐標(biāo)．

解答 解：（1）點(diǎn)B（5，3）、C（-2，5），E（-1，-4）關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′、C′，E′的位置，如圖所示，

由圖象可知B′（3，5），C′（5，-2），E′（-4，-1）．

（2）由（1）可知坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P（a，b）關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（b，a）．

（3）連接DB′交直線l于Q，此時(shí)DQ+BQ最�。�
設(shè)直線DB′的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{3k+b=5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-7}\end{array}\right.$，
∴直線DB′的解析式為y=4x-7，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x-7}\\{y=x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{3}}\\{y=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（$\frac{7}{3}$，$\frac{7}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)正確畫(huà)出圖形，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．