Question

5．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，過(guò)點(diǎn)B作一條射線與邊DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是邊AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，連接PQ．
（1）求證：△PBQ是等腰直角三角形；
（2）若PQ²=PB²+PD²+1，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）首先由∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°易得△PAB與△QCB均為直角三角形，再證得△PAB≌△QCB，可得結(jié)論；
（2）由（1）可知QC=PA，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)AB=a，PA=x，利用方程思想和勾股定理，等量代換易得ax，可得結(jié)果．

解答 （1）證明：∵∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°，
∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90°，
∵∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PBA=∠QBC，
在Rt△PAB和Rt△QCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠QCB}\\{AB=CB}\\{∠PBA=∠QBC}\end{array}\right.$，
∴△PAB≌△QCB（ASA），
∴PB=QB，
∴△PBQ是等腰直角三角形；

（2）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)AB=a，PA=x，
∵△PAB≌△QCB，
∴QC=PA=x，
∴DQ=DC+QC=a+x，PD=AD-PA=a-x，
在Rt△PAB中，PB²=PA²+AB²=x²+a²，
∵PQ²=PB²+PD²+1，
∴（a-x）²+（a+x）²=x²+a²+（a-x）²+1，
解得：2ax=1，
∴ax=$\frac{1}{2}$，
∵△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$PA•PB=$\frac{1}{2}$ax=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，利用方程思想和勾股定理得出AB•PA是解答此題的關(guān)鍵．