Question

4．如圖，已知正方形紙片ABCD，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊CD上一點(diǎn)，將紙片沿EF翻折，點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)H，連接BD，CH，CG．CH交BD于點(diǎn)N，EF、CG、BD恰好交于一點(diǎn)M．若DH=2，BG=3，則線段MN的長(zhǎng)度為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 作CP⊥HG于P，首先證明DH=HP，GP=BG，推出GH=5，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，在Rt△AHG中利用勾股定理求出a，再由BG∥CD，得$\frac{BM}{DM}$=$\frac{BG}{CD}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，由DH∥CB，得$\frac{DN}{BN}$=$\frac{DH}{BC}$=$\frac{1}{3}$，分別求出BM、DN即可解決問(wèn)題．

解答 解：作CP⊥HG于P，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD=BC，AD∥BC，∠CDA=90°，
∴∠DHC=∠HCE，
由翻折性質(zhì)可知，∠ECH=∠EHC，
∴∠DHC=∠CHE，
∵CD⊥HD，CP⊥HE，
∴CP=CD=BC，
∴△CHD≌△CHP，△CGP≌△CGB，
∴DH=HP=2，PG=GB=3，
∴HG=2+3=5，
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，在Rt△AHG中，∵HG²=AH²+AG²，
∴5²=（a-2）²+（a-3）²，
∴a=6或-1（舍棄），
∴CD=BC=6，BD=6$\sqrt{2}$，
∵BG∥CD，
∴$\frac{BM}{DM}$=$\frac{BG}{CD}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴BM=2$\sqrt{2}$，
∵DH∥CB，
∴$\frac{DN}{BN}$=$\frac{DH}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴DN=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴MN=BD-DN-BM=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．