Question

17．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點P是AB上（不含端點A，B）任意一點，把△PBC沿PC折疊，當(dāng)點B′的對應(yīng)點落在矩形ABCD的對角線上時，BP=$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 分兩種情況探討：①點B落在矩形對角線BD上，②點B落在矩形對角線AC上，由三角形相似得出比例式，即可得出結(jié)果．

解答 解①點A落在矩形對角線BD上，如圖1所示．

∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3
∴∠ABC=90°，AC=BD，
∴AC=BD=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
根據(jù)折疊的性質(zhì)得：PC⊥BB′，
∴∠PBD=∠BCP，
∴△BCP∽△ABD，
∴$\frac{BP}{AD}=\frac{BC}{AB}$，
即$\frac{BP}{3}=\frac{4-BP}{5}$=$\frac{8-BP}{10}$，
解得：BP=$\frac{9}{4}$．
②點A落在矩形對角線AC上，如圖2所示．

根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BP=B′P，∠B=∠PB′C=90°，
∴∠AB′A=90°，
∴△APB′∽△ACB，
∴$\frac{B′P}{BC}=\frac{AP}{AC}$，
即$\frac{BP}{3}=\frac{4-BP}{5}$，
解得：BP=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了折疊問題、勾股定理，矩形的性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，由三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．