Question

18．二次函數(shù)y=9x²-6ax+a²-2a-6，當(dāng)-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$時(shí)，y＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜-$\sqrt{5}$或a＞5．

Answer 1

分析 先求出該拋物線的對(duì)稱軸，然后根據(jù)對(duì)稱軸的位置即可求出a的取值范圍．

解答 解：拋物線的對(duì)稱軸為：x=$\frac{a}{3}$，
當(dāng)$\frac{a}{3}$≤-$\frac{1}{3}$時(shí)，
即：a≤-1，
此時(shí)函數(shù)y在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$上，y隨著x的增大而增大，
∴x=-$\frac{1}{3}$，y=a²-5＞0，
∴a＜-$\sqrt{5}$或a＞$\sqrt{5}$
∴a＜-$\sqrt{5}$
當(dāng)-$\frac{1}{3}$＜$\frac{a}{3}$＜$\frac{1}{3}$時(shí)，
即：-1＜a＜1，
∴此時(shí)-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$時(shí)，y＞0恒成立，只需要△＜0即可，
∴△36a²-36（a²-2a-6）＜0，
解得：a＜-3
∴此時(shí)a無解，此情況不存在；
當(dāng)$\frac{a}{3}$≥$\frac{1}{3}$時(shí)，
即：a≥1，
此時(shí)函數(shù)y在-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$上，y隨著x的增大而減少，
∴x=$\frac{1}{3}$，y=a²-4a-5＞0，
∴a＜-1或a＞5
∴a＞5
綜上所述，a＜-$\sqrt{5}$或a＞5時(shí)，-$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{1}{3}$時(shí)，y＞0恒成立，
故答案為：a＜-$\sqrt{5}$或a＞5

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象，本題屬于中等題型．