Question

5．某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相等，圖中的線段AB表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y₁（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系；線段CD表示該產(chǎn)品銷售價(jià)y₂（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系，已知0＜x≤120，m＞60．
（1）求線段AB所表示的y₁與x之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若m=95，該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）若60＜m＜70，該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法求解可得；
（2）先求出m=95時(shí)，y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)：總利潤(rùn)=銷售量×（售價(jià)-成本）列出函數(shù)關(guān)系式，配方后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得其最值情況；
（3）用含m的式子表示出y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)：總利潤(rùn)=銷售量×（售價(jià)-成本）列出函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合60＜m＜70判斷其最值情況．

解答 解：（1）設(shè)線段AB所表示的y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y₁=k₁x+b₁，
根據(jù)題意，得：$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=60}\\{120{k}_{1}+_{1}=40}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{6}}\\{_{1}=60}\end{array}\right.$，
∴y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y₁=-$\frac{1}{6}$x+60（0＜x≤120）；

（2）若m=95，設(shè)y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y₂=k₂x+95，
根據(jù)題意，得：50=120k₂+95，解得：k₂=-$\frac{3}{8}$，
這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為：y₂=-$\frac{3}{8}$x+95（0＜x≤120），
設(shè)產(chǎn)量為xkg時(shí)，獲得的利潤(rùn)為W元，根據(jù)題意，得：
W=x[（-$\frac{3}{8}$x+95）-（-$\frac{1}{6}$x+60）]
=-$\frac{5}{24}$x²+35x
=-$\frac{5}{24}$（x-84）²+1470，
∴當(dāng)x=84時(shí)，W取得最大值，最大值為1470，
答：若m=95，該產(chǎn)品產(chǎn)量為84kg時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1470元；

（3）設(shè)y=k₂x+m，由題意得：120k₂+m=50，解得：k₂=$\frac{50-m}{120}$，
這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為：y=$\frac{50-m}{120}$x+m，
W=x[（$\frac{50-m}{120}$x+m）-（-$\frac{1}{6}$x+60）]
=$\frac{70-m}{120}$x²+（m-60）x，
∵60＜m＜70，
∴a=$\frac{70-m}{120}$＞0，b=m-60＞0，
∴-$\frac{2a}$＜0，即該拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，
∴0＜x≤120時(shí)，W隨x的增大而增大，
當(dāng)x=120時(shí)，W的值最大，
故60＜m＜70時(shí)，該產(chǎn)品產(chǎn)量為120kg時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力，根據(jù)相等關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，熟練根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的最值情況是解題的關(guān)鍵．