Question

12．在正方形ABCD中，點(diǎn)P在射線AB上，連結(jié)PC，PD，M，N分別為AB，PC中點(diǎn)，連結(jié)MN交PD于點(diǎn)Q．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求∠QMB的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時(shí)．
①依題意補(bǔ)全圖2
②小聰通過觀察、實(shí)驗(yàn)、提出猜想：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，始終有QP=QM．
小聰把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：
想法1延長BA到點(diǎn)E，使AE=PB．要證QP=QM，只需證△PDA≌△ECB．
想法2：取PD中點(diǎn)E，連結(jié)NE，EA．要證QP=QM只需證四邊形NEAM是平行四邊形．
想 法3：過N作NE∥CB交PB于點(diǎn)E，要證QP=QM，只要證明△NEM∽△DAP．
…
請你參考上面的想法，幫助小聰證明QP=QM．（一種方法即可）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連結(jié)AC．只要證明MN∥AC，即可推出∴BMN=∠BAC=45°．
（2）①根據(jù)條件畫出圖形即可．
②想法1延長BA到點(diǎn)E，使AE=PB．要證QP=QM，只需證△PDA≌△ECB．
想法2：取PD中點(diǎn)E，連結(jié)NE，EA．要證QP=QM，只需證四邊形NEAM是平行四邊形．
想 法3：過N作NE∥CB交PB于點(diǎn)E，要證QP=QM，只要證明△NEM∽△DAP．

解答 解：（1）如圖1中，連結(jié)AC．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D AB=90°，
∴∠C AB=45°，
∵點(diǎn) M，N  是 AB，BC 中點(diǎn)，
∴MN∥AC，
∴∠NMB=∠C AB=45°，
∴∠QMB=∠C AB=45°，
（2）①圖象如圖所示，

                   

②想法1：如圖2-1中，延長BA 到點(diǎn)E，使AE=PB
∴BE=AP，
∵正方形ABCD，
∴∠PAD=∠EBC=90°，AD=BC，
∴△PDA≌△ECB，
∠DPA=∠E，
又點(diǎn)M  是AB  中點(diǎn)，AM=MB，又AE=BP，
∴AM+EA=MB+BP，
∴EM=MP，
∴M是EP中點(diǎn)，
∴MN是△EPC的中位線，
∴MN∥EC，
∴∠E=∠NMP，
∴∠NMP=∠DPA即∠QMP=∠QPM，
∴QM=QP．     
想法2：如圖2-2中，取PD  中點(diǎn)E，連結(jié)NE，EA

∵E，N分別是PD，PC，
∴EN∥CD，EN=$\frac{1}{2}$CD，
又CD∥AB，CD=AB，
∴EN∥AB且EN=$\frac{1}{2}$AB，
∴EN=AM，
∴四邊形是NEAM是平行四邊形，
∴EA∥MN，
∴∠EAB=∠NMB，
又點(diǎn)E是Rt△DAP斜邊DP中點(diǎn)，
∴AE=EP，
∴∠EAB=∠EPA，
∴∠NMB=∠EPA，
∴QM=QP．                   

想法3：如圖2-3中，過N 作 NE∥CB 交PB 于點(diǎn) E，

∵CB⊥AB，
∴NE⊥AP，
又∵N 是 PC中點(diǎn)，
∴NE 是△CBP的中位線，
∴NE=$\frac{1}{2}$BC，
又點(diǎn)E是B P中點(diǎn)，
∴BE=$\frac{1}{2}$BP，MB=$\frac{1}{2}$AB，
∴ME=$\frac{1}{2}$AP，
∴$\frac{ME}{AP}$=$\frac{NE}{DA}$=$\frac{1}{2}$，
∠NEM=∠DAP=90°，
∴△NEM∽△DAP，
∴∠EMN=∠APD，
∴QM=QP．

點(diǎn)評 本題考查相似三角形綜合題、正方形的性質(zhì)、三角形的中位線定理．直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考壓軸題．