Question

3．小夏是個數學謎，他不僅被書中的數學知識所吸引，而且愛探究為什么有這些數學知識，在這種“研究為什么”的精神支配下，他對數學思想中的“證明”饒有興趣！
最近，他證明了平行線間距離處處相等，并用這個定理證明了直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方�。ㄏ纫灾苯侨�角形的三邊向外構造正方形，這樣每邊的平方可看作正方形的面積，最后用了平行線間距離處處相等定理得以解決．）請大家也來試一試
1）如圖1，直線a∥b，A、B為a上任意兩點，AC⊥b于C，BD⊥b于D，求證：AC=BD
2）如圖2，△ABC中，∠BAC=90°，四邊形ABED、ACGF、BCIH均為正方形（四邊相等，四個角都是直角），AM⊥HI交BC于N，連結AH、CE
求證：①△EBC≌△ABH
②正方形ABED的面積=四邊形BNMH的面積
③AB²+AC²=BC²．

Answer 1

分析 （1）先利用垂直于同一條直線的兩直線平行，進而得出四邊形ABDC是平行四邊形，即可；
（2）①先判斷出∠CBE=∠HBA，即可得出△EBC≌△ABH，得出結論；
②先判斷出四邊形BHMN是矩形，由全等三角形的面積相等即可得出結論；
③由②得出正方形ABED的面積=四邊形BHMN面積，同理，正方形ACGF的面積=四邊形CIMN的面積，最后用面積的合計可得出結論．

解答 證明：（1）∵AC⊥b于C，BD⊥b于D，
∴AC∥BD，
∵a∥b，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∴AC=BD；

（2）①∵四邊形ABED，BCIH是正方形，
∴AB=BE，BC=BH，∠ABE=∠CBH=90°，
∴∠ABC+∠ABE=∠ABC+∠CBH，∴∠CBE=∠HBA，
在△EBC和△ABH中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=AB}\\{∠CBE=∠HBA}\\{BC=BH}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△ABH（SAS）；

②∵四邊形BCIH是正方形，
∴∠CBH=∠BHI=90°，
∵AM⊥HI，
∴∠AMH=90°=∠CBH=∠BHI=90°，
∴四邊形BHMN是矩形，
由①知，△EBC≌△ABH，
∴S_△EBC=S_△ABH，
∵S_△EBC=$\frac{1}{2}$BE•AB=$\frac{1}{2}$AB²，S_△ABH=$\frac{1}{2}$BH•BN，
∴AB²=BH•BN，
∵S_{正方形ABED}=AB²，S_矩形BNMH=BH•BN，
∴S_{正方形ABED}=S_矩形BNMH，
即：正方形ABED的面積=四邊形BNMH的面積；

（3）如圖，
連接BG，AI，同②的方法，得出S_{正方形ACGF}=S_矩形CIMN，
∴S_{正方形ABED}+S_{正方形ACGF}=S_矩形BHMN+S_矩形CIMN=S_{正方形BCIH}，
∵S_{正方形ABED}=AB²，S_{正方形ACGF}=AC²，S_{正方形BCIH}=BC²，
∴AB²+AC²=BC²．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的面積公式，矩形的判定，矩形，正方形的面公式，解（1）的關鍵是判斷出AC∥BD，解（2）①的關鍵是判斷出∠CBE=∠HBA，解（2）②的關鍵是S_△EBC=$\frac{1}{2}$BE•AB=$\frac{1}{2}$AB²，S_△ABH=$\frac{1}{2}$BH•BN，解（2）③的關鍵是得出正方形的面積，是一道基礎題目．