Question

若拋物線y=ax²+c是由y=ax²向下平移4個(gè)單位而得到的，且該拋物線與直線y=-2x+1交于點(diǎn)（-1，m）
（1）求拋物線y=ax²+c的解析式，并寫出它的對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)及最值；
（2）求（1）中的拋物線與直線y=2x+1的交點(diǎn)坐標(biāo)AB兩點(diǎn)（點(diǎn)A在B點(diǎn)的左側(cè)），并求出頂點(diǎn)C與AB構(gòu)成的三角形的面積．
（3）求出（1）中拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）先由上加下減的平移規(guī)律得出c=-4，再將點(diǎn)（-1，m）代入y=-2x+1求出m=3，將點(diǎn)（-1，3）代入y=ax²-4，求出a的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）解方程組

y=2x+1 y=7x2-4

，求出A（-

5

7

，-

3

7

），B（1，3）．設(shè)直線y=2x+1與y軸的交點(diǎn)為D，則D（0，1），根據(jù)△ABC的面積=△ACD的面積+△BCD的面積即可求解；
（3）將y=0代入y=7x²-4，解方程求出x的值，進(jìn)而得到（1）中拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=ax²向下平移4個(gè)單位得到y(tǒng)=ax²-4，
而拋物線y=ax²+c是由y=ax²向下平移4個(gè)單位而得到的，
∴c=-4．
將點(diǎn)（-1，m）代入y=-2x+1，得m=-2×（-1）+1=3，
將點(diǎn)（-1，3）代入y=ax²-4，得3=a×（-1）²-4，解得a=7，
∴拋物線y=ax²+c的解析式為y=7x²-4，
∴對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4），有最小值-4；

（2）由

y=2x+1 y=7x2-4

，解得

x1=- 5 7 y1=- 3 7

，

x2=1 y2=3

，
∵點(diǎn)A在B點(diǎn)的左側(cè)，
∴A（-

5

7

，-

3

7

），B（1，3）．
設(shè)直線y=2x+1與y軸的交點(diǎn)為D，則D（0，1）．
∵C（0，-4），
∴△ABC的面積=△ACD的面積+△BCD的面積
=

1

2

×5×

5

7

+

1

2

×5×1
=5；

（3）∵y=7x²-4，
∴當(dāng)y=0時(shí)，7x²-4=0，
解得x=±

2 7

7

，
∴（1）中拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

2 7

7

，0），-

2 7

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的面積，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．