Question

4．如圖，⊙O的直徑AB⊥弦CD，垂足為點E，點P在優(yōu)弧CAD上（不包含點C和點D），連PC、PD、CB，tan∠BCD=$\frac{1}{2}$
（1）求證：AE=CD；
（2）求sin∠CPD．

Answer 1

分析 （1）連接AD，根據垂徑定理得出CE=DE=$\frac{1}{2}$CD，然后你趕緊圓周角定理和三角函數即可求得結論；
（2）作直徑CE，連接ED，根據圓周角定理和已知條件求得AB=$\frac{5}{4}$CD，即可求得$\frac{CD}{CE}$=$\frac{4}{5}$，得出sin∠CED=$\frac{4}{5}$，進而求得sin∠CPD=$\frac{4}{5}$．

解答 （1）證明：連接AD，
∴∠BAD=∠BCD，
∵tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠BAD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$AE，
∵⊙O的直徑AB⊥弦CD，垂足為點E，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=CD；
（2）解：作直徑CE，連接ED，
∴∠CDE=90°，
∵tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，AB⊥弦CD，
∴CE=2BE，
∵AE=CD，
∴AB=$\frac{5}{4}$CD，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∵CE=AB，
∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠CED=$\frac{4}{5}$，
∵∠CED=∠CPD，
∴sin∠CPD=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了垂徑定理的應用，圓周角定理的應用，直角三角函數的應用，作出輔助線根據直角三角形是解題的關鍵．