Question

14．如圖，在△ABC中，∠C=90°，D為邊BC上一點(diǎn)，E為BA延長線上一點(diǎn)，EF⊥AB交CA的延長線于F，EF=CD，連接DE交AC于G
（1）若∠BAC=30°，求$\frac{DG}{EG}$的值；
（2）如圖2，若點(diǎn)H為邊AB上一點(diǎn)，且HD=HB，求證：AH=DH+AF．

Answer 1

分析 （1）過E作EM⊥CF于M，證得△GEM∽△CGD，得到$\frac{DG}{EG}=\frac{DC}{EM}$，再由三角函數(shù)求得結(jié)果；
（2）在AH上截取AP=AF，過P作PQ⊥AC于Q，連接PD，得到△AEF≌△APQ，證出EF=PQ，由于EF=CD，等量代換PQ=CD，推出四邊形PQCD是矩形，得到∠QPD=∠PDC=∠PDB=90°，得出∠1+∠2=∠3+∠4=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到PH=DH，于是得到結(jié)．

解答 解：（1）過E作EM⊥CF于M，
∵∠EGM=∠CGD，∠EMG=∠C，
∴△GEM∽△CGD，
∴$\frac{DG}{EG}=\frac{DC}{EM}$，
∵∠BAC=30°，
∴∠EAF=30°，
∴∠F=60°，
∴$\frac{CD}{EM}=\frac{EF}{EM}$=$\frac{1}{\frac{EM}{EF}}$=$\frac{1}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{DG}{EG}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）在AH上截取AP=AF，過P作PQ⊥AC于Q，連接PD，
在△AEF與△APQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠QAP}\\{∠FEA=∠PQA}\\{AF=AP}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△APQ，
∴EF=PQ，
∵EF=CD，
∴PQ=CD，
∵∠PQC=∠C=90°，
∴PQ∥CD，
∴四邊形PQCD是矩形，
∴∠QPD=∠PDC=∠PDB=90°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°，
∵HD=HB，
∴∠4=∠B，
∵∠1=∠B，
∴∠1=∠4，
∴∠2=∠3，
∴PH=DH，
∴AH=AP+PH=AF+DH．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，作垂線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．