Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，一個Rt△ABC的斜邊AB在兩坐標(biāo)軸上滑動，AB=2，∠ABC=30°，下面說法正確的個數(shù)是（　　）個．
①當(dāng)B點(diǎn)與O點(diǎn)重合時，C點(diǎn)的坐標(biāo)是（

3

2

，

3

2

）；
②滑動過程中，OC的最大值是2；
③滑動過程中，四邊形OACB的面積的最大值是1+

3

2

；
④滑動過程中，AB的中點(diǎn)所走的路徑是一條線段．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：根據(jù)解直角三角形的運(yùn)用、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可．

解答：解：由解直角三角形知①正確；
取AB的中點(diǎn)D，（如圖1）連OD、CD，則CO≤OC+OD（當(dāng)O、D、C三點(diǎn)共線時取等號），此時OC=AB=2，知②正確；
（另外也可以這樣考慮，如圖2，∠AOB=∠ACB=90°，則∠AOB+∠ACB=180°，O、A、C、B四點(diǎn)共圓，OC為⊙D的弦，OC≤AB=2，當(dāng)OC為⊙D的直徑時，OC最大是2，也得結(jié)論②正確；
由于△ABC的面積是

1

2

×1×

3

=

3

2

（定值），當(dāng)△AOB面積最大時，四邊形的面積最大，當(dāng)△AOB是等腰直角三角形時，面積最大是1，所以滑動過程中，四邊形OACB的面積的最大值是1+

3

2

；故結(jié)論③正確；
（另一種是二次函數(shù)，設(shè)OA=x，則OB=

4-x2

，S△AOB=

1

2

x

4-x2

=

1

2

x2(4-x2)

=

1

2

-(x2-2)2+4

≤1（等號僅當(dāng)x=

2

時取得），所四邊形OACB最大面積是1+

3

2

，故③正確）
取AB的中點(diǎn)D，如圖4，由于OD的長度始終是AB的一半，為1，且D為動點(diǎn)，O為定點(diǎn)，動點(diǎn)D到定點(diǎn)O的距離等于定長1的點(diǎn)軌跡是一個圓（�。�，故④錯，（如圖5紅色是AB的中點(diǎn)的軌跡，說明：除中點(diǎn)D和端點(diǎn)A、B外，其它點(diǎn)的軌跡是橢圓，那是高中的知識，設(shè)P（x，y）是AB上的一點(diǎn)，∠DAC=θ，且AP=a，則

x=(2-a)cosθ y=asinθ

，解得：

x2

(2-a)2

+

y2

a2

=1（0＜a＜2，0＜x＜2，0＜y＜2），僅當(dāng)a=1時即AB的中點(diǎn)軌跡是圓的一部分．）

點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形的運(yùn)用、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)題目綜合性很強(qiáng)，對學(xué)生的解題能力要求很高，是一道不錯的中考題目．