Question

6．先分解因式（1）（2）（3），再解答后面的問題．
（1）1+a+a（1+a）．
（2）1+a+a（1+a）+a（1+a）²
（3）1+a+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³
問題：
I．先探索上述分解因式的規(guī)律，再寫出：1+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³+…+a（1+a）²⁰¹⁴分解因式的結(jié)果是（1+a）²⁰¹⁵．
Ⅱ．請按上述方法分解因式：1+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³+…+a（1+a）ⁿ（n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）提取公因式（1+a）即可得出答案；
（2）提取公因式（1+a），再結(jié)合同底數(shù)冪的乘法運算法則即可得出答案；
（3）提取公因式（1+a）再結(jié)合同底數(shù)冪的乘法運算法則即可得出答案；
I．根據(jù)以上規(guī)律即可得出運算規(guī)律，得出答案即可；
Ⅱ．根據(jù)以上規(guī)律即可得出運算規(guī)律，得出答案即可．

解答 解：（1）原式=（1+a）（1+a）=（1+a）²；
（2）原式=（1+a）[1+a+a（1+a）]=（1+a）（1+a）（1+a）=（1+a）³；
（3）原式=（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²]
=（1+a）（1+a）[1+a+a（1+a）]
=（1+a）²（1+a）（1+a）
=（1+a）⁴，
Ⅰ．（1+a）²⁰¹⁵，
故答案為：（1+a）²⁰¹⁵；
Ⅱ．原式=（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²+…+a（1+a）^n-1]
=（1+a）（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²+…+a（1+a）^n-2]
=（1+a）²（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²+…+a（1+a）^n-3]
=（1+a）^n-1（1+a）（1+a）=（1+a）ⁿ⁺¹．

點評 此題主要考查了提取公因式法分解因式，根據(jù)運算結(jié)果得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．