Question

8．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=4，線段MN在BC邊上沿BC方向運動（運動開始時，點M與點B重合，點N到達點C時運動終止），MN=1，分別過點M、N分別作BC的垂線，與折線B→A→C交于P、Q兩點，設線段BM的長為x．
（1）線段MN在運動的過程中，當PM=QN時，求x值；
（2）線段MN在運動的過程中，PM+QN=y，請用含x的式子表示y，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用等腰直角三角形得出PM=BM，QN=CN，再利用線段的和差和PM=QN即可得出x；
（2）分三種情況討論計算，①點P，Q都在AB上，②點P在AB上，點Q在AC上，③點P，Q都在AC上，利用等腰直角三角形的性質和線段的和差即可得出結論．

解答 解：（1）如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMB=∠QNC=90°，
在Rt△PMB中，PM=BM，
同理：QN=CN，
∵PM=QN，
∴BM=CN，
∵BC=4，MN=1，
∴BC=BM+MN+CN=2BM+MN=4，
∴BM=$\frac{1}{2}$（4-MN）=$\frac{3}{2}$，
∴x=$\frac{3}{2}$；


（2）①、如圖2，在等腰直角三角形ABC中，BC=4，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵MN=1，
∴BM＜1
當0≤x≤1時，
在Rt△OMB中，∠ABC=45°，
∴PM=BM=x，
在Rt△QNB中，QN=BN=BM+MN=x+1，
∴y=PM+QN=x+x+1=2x+1，

②、如圖3，當1＜x＜2時，同①得，PM=BM=x，
在Rt△QNC中，QN=CN，
∵BC=BM+MN+CN，
∴QN=CN=BC-BM-MN=4-x-1=3-x，
∴y=PM+QN=x+3-x=3；


③、如圖4，當2≤x≤3時，
∵BC=4，BM=x，
∴CM=BC-BM=4-x，
∵MN=1，
∴CN=CM-MN=4-x-1=3-x，
在Rt△PMC中，PM=CM=4-x，
同理：QN=CN=3-x，
∴y=PM+QN=4-x+3-x=7-2x；
即：y=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1（0≤x≤1）}\\{3（1＜x＜2）}\\{7-2x（2≤x≤3）}\end{array}\right.$．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質，線段的和差，解本題的關鍵是用x表示出PM，QN；是一道比較簡單的綜合題目．