Question

如圖，已知直線y=x+8與x軸、y軸分別交于點A、B．線段AO上的一個動點C從A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿A→O移動（C與A，O不重合），果C作CD∥AB，交y軸于點D，將四邊形ACDB沿CD對折，可得四邊形CEFD，設點C的運動時間為t秒．
（1）直線y=x+8與坐標軸的交點坐標是A

 

，B

 

．
（2）在圖①中畫出四邊形ACDB沿CD對折后的圖形（不寫畫法）．
（3）若EF交x軸于G點，求證：四邊形CGFD為平行四邊形；并求t為何值時，四邊形CGFD為菱形（計算結果不需要化簡）．
（4）設四邊形DCEF落在第三象限內的圖形面積為S，求S關于t的函數表達式，并求出S的最大值．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得圖象與坐標軸的交點坐標；
（2）根據軸對稱的性質，可得軸對稱圖形；
（3）根據對應線段平行于對稱軸，可得EF與CD的關系，根據等腰直角三角形的性質，可得∠ABO，根據平行線的性質，可得∠CDO，根據鄰補角，可得∠BDC，再根據軸對稱的性質，可得∠CDF，根據角的和差，可得∠BDF，根據平行四邊形的判定，可得CGFD為平行四邊形；根據等腰梯形的判定，可得BD與AC的關系，根據軸對稱的性質，可得DF的長，根據勾股定理，可得CD的長，根據菱形的判定，可得答案；
（4）分類討論：當0＜t≤4時，根據三角形的面積公式，可得函數解析式，根據二次函數的性質，可得答案；當4＜t＜8時，根據面積的和差，可得函數解析式，根據二次函數的性質，可得答案．

解答：解：（1）（-8，0），（0，8）；
（2）如圖1：
；
四邊形CEFD即為四邊形ACDB沿CD對折后的圖形，
（3）∵四邊形CEFD與四邊形ACDB關于直線CD對稱，CD∥AB，
∴EF∥CD．
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=135°．∠CDF=∠CDB=135°．∠BDF=360°-2×135°，即DF⊥y軸，
∴DF∥CG，
∴四邊形CGFD是平行四邊形．
如圖2，要使四邊形CGFD為菱形，只需CD=DF．

∵AB∥CD，∠CAB=∠DBA，
∴AC=BD．
∴DF=BD=AC=t．
又∵OC=OD=8-t，
∴CD=

2

（8-t）．
∴

2

（8-t）=t．
∴t=

8 2

1+ 2

=16-8

2

，
當t=16-8

2

時，四邊形CGFD為菱形；
（4）分兩種情況討論：
①當0＜t≤4時，四邊形CEFD落在第三象限內的圖形是△CEG，
∴S=

1

2

t²，∵S=

1

2

t²在t＞0時，S隨t的增大而增大，
∴當t=4時，S_最大=

1

2

×4²=8；
②當4＜t＜8時，如圖3，
，
四邊形CEFD落在第三象限內的圖形是CEHO，其中H為EF與y軸的交點，
CG=CE=t，CO=8-t，OG=OH=t-（8-t）=2t-8，
∴S_{四邊形COHE}=S_△CEG-S_△OGH
S=

1

2

t²-

1

2

（2t-8）²=-

3

2

t²+16t-32=-

3

2

（t-

16

3

）²+

32

3

，
∵a=-

3

2

＜0，
∴S有最大值，
當t=

16

3

時，S_最大=

32

3

．

點評：本題考查了一次函數綜合題，（1）利用了自變量與函數值的對應關系；（2）利用了軸對稱的性質；（3）利用了等腰直角三角形的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定；（3）利用了三角形面積公式，面積的和差，二次函數的性質，利用知識點多綜合性較強．