Question

7．如圖，點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$（x＞0）圖象上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心作圓，且該圓恰與兩坐標(biāo)軸都相切．在y軸任取一點(diǎn)E，連接PE并過點(diǎn)P作直線PE的垂線與x軸交于點(diǎn)F，則線段OE與線段OF的長(zhǎng)度可能滿足的數(shù)量關(guān)系式是OF-OE=2或OE-OF=2或OF+OE=2．

Answer 1

分析 利用P點(diǎn)在雙曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）圖象上且以P為圓心的⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切求出P點(diǎn)，再利用△BPE≌△APF分三種情況列出OE與OF之間的關(guān)系即可．

解答 解：∵點(diǎn)P在雙曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上，以P為圓心的⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切，
∴P（ 1，1），
又∵PF⊥PE，
∴∠EPF=90°，
∵∠BPE+∠EPA=90°，
∴∠EPA+∠FPA=90°，
∴∠FPA=∠BPE，
在△BPE和△APF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPB=∠FPA}\\{BP=AP}\\{∠EBP=∠PAF}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△APF，
∴AF=BE，
①當(dāng)F在x軸的正半軸，且OF＞1時(shí)，則有OF-OA=OB+OE，
即OF-1=1+OE，
∴OF-OE=2，
②當(dāng)F在x軸的負(fù)半軸時(shí)，則有OF+OA=OE-OB，
即OF+1=OE-1，
∴OE-OF=2，
③當(dāng)F在x軸的正半軸，且OF＜1時(shí)，則有OA-OF=OE-OB，
即1-OF=OE-1，
∴OF+OE=2，
綜上，線段OE與線段OF的長(zhǎng)度可能滿足的數(shù)量關(guān)系式是：OF-OE=2或OE-OF=2或OF+OE=2，
故答案為：OF-OE=2或OE-OF=2或OF+OE=2．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反比例函數(shù)與全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，同學(xué)們要熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，此題難度較大．