Question

16．在正方形ABCD中，連接BD．
（1）如圖1，AE⊥BD于E．直接寫出∠BAE的度數(shù)．
（2）如圖1，在（1）的條件下，將△AEB以A旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△AB′E′，AB′與BD交于M，AE′的延長(zhǎng)線與BD交于N．
①依題意補(bǔ)全圖1；
②用等式表示線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（3）如圖2，E、F是邊BC、CD上的點(diǎn)，△CEF周長(zhǎng)是正方形ABCD周長(zhǎng)的一半，AE、AF分別與BD交于M、N，寫出判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路．（不必寫出完整推理過程）

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可；
（2）依題意畫出如圖1所示的圖形，根據(jù)性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，判斷線段的關(guān)系，再利用勾股定理得到FB²+BM²=FM²，再判斷出FM=MN即可；
（3）利用△CEF周長(zhǎng)是正方形ABCD周長(zhǎng)的一半，判斷出EF=EG，再利用（2）證明即可．

解答 解：（1）∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABE=∠BAE=45°，
（2）①依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示，

②BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM²+MD²=MN²，
將△AND繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AFB，
∴∠ADB=∠FBA，∠BAF=∠DAN，DN=BF，AF=AN，
∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°，
在Rt△BFM中，根據(jù)勾股定理得，F(xiàn)B²+BM²=FM²，
∵旋轉(zhuǎn)△ANE得到AB₁E₁，
∴∠E₁AB₁=45°，
∴∠BAB₁+∠DAN=90°-45°=45°，
∵∠BAF=DAN，
∴∠BAB₁+∠BAF=45°，
∴∠FAM=45°，
∴∠FAM=∠E₁AB₁，
∵AM=AM，AF=AN，
∴△AFM≌△ANM，
∴FM=MN，
∵FB²+BM²=FM²，
∴DN²+BM²=MN²，
（3）如圖2，

將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，
∴DF=GB，
∵正方形ABCD的周長(zhǎng)為4AB，
△CEF周長(zhǎng)為EF+EC+CF，
∵△CEF周長(zhǎng)是正方形ABCD周長(zhǎng)的一半，
∴4AB=2（EF+EC+CF），
∴2AB=EF+EC+CF
∵EC=AB-BE，CF=AB-DF，
∴2AB=EF+AB-BE+AB-DF，
∴EF=DF+BE，
∵DF=GB，
∴EF=GB+BE=GE，
由旋轉(zhuǎn)得到AD=AG=AB，
∵AM=AM，
∴△AEG≌△AEF，
∠EAG=∠EAF=45°，
和（2）的②一樣，得到DN²+BM²=MN²．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的全等，判斷出三角形全等（△AFM≌△ANM，得到FM=MM），是解本題關(guān)鍵．