Question

9．（1）已知：如圖1，△ABC為等邊三角形，CE平分△ABC的外角∠ACM，點(diǎn)在BC上，連接AD、DE，如果∠ADE=60°，求證：AD=DE．
（2）如果△ABC為任意三角形，且∠ACB=60°，其他條件不變，這個(gè)結(jié)論還成立嗎？說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）只要證明A、D、C、E四點(diǎn)共圓，即可得到∠ECM=∠DAE=60°，∠AED=∠ACB=60°，所以∠DAE=∠DEA由此解決問題．
（2）證明類似（1），先證明A、D、C、E四點(diǎn)共圓，再證明∠DAE=∠DEA即可．

解答 （1）證明：如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACM=120°，
∴CE平分∠ACM，
∴∠ACE=∠ECM=60°，
∵∠ADE=60°，∠ACE=60°，
∴∠ADE=∠ACE，
∴A、D、C、E四點(diǎn)共圓，
∴∠ECM=∠DAE=60°，∠AED=∠ACB=60°，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE．
（2）結(jié)論成立．DA=DE．
理由：如圖2中，連接AE，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=180°-∠ACB=120°，
∴CE平分∠ACM，
∴∠ACE=∠ECM=60°，
∵∠ADE=60°，∠ACE=60°，
∴∠ADE=∠ACE，
∴A、D、C、E四點(diǎn)共圓，
∴∠ECM=∠DAE=60°，∠AED=∠ACB=60°，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四點(diǎn)共圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)A、D、C、E四點(diǎn)共圓，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，題目有點(diǎn)難度．