Question

18．關(guān)于x的一元二次方程x²+2（m+1）x+m²+5=0有兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=3時(shí)，若|x₁|，|x₂|恰好分別是一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長，求這個(gè)直角三角形的斜邊長c；
（3）若方程兩實(shí)根x₁，x₂滿足-x₁-x₂=$\frac{2}{3}$x₁•x₂，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由于一元二次方程x²+2（m+1）x+m²+5=0有兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂，于是得到△=[2（m+1）]²-4（m²+5）=4m²+8m+4-4m²-20=8m-16≥0，解不等式即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)m=3時(shí)，方程可化為x²+8x+14=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-8，x₁•x₂=14，代入代數(shù)式即可得到結(jié)果；
（3）把根與系數(shù)的關(guān)系代入-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=$\frac{2}{3}$x₁•x₂，解關(guān)于m的方程即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵一元二次方程x²+2（m+1）x+m²+5=0有兩個(gè)實(shí)根x₁，x₂，
∴△=[2（m+1）]²-4（m²+5）=4m²+8m+4-4m²-20=8m-16≥0，
解得：m≥2；

（2）當(dāng)m=3時(shí)，方程可化為x²+8x+14=0，
∵x₁+x₂=-8，x₁•x₂=14，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-8）²-2×14=36，
所以斜邊長6；

（3）-x₁-x₂=-（x₁+x₂）=$\frac{2}{3}$x₁•x₂，
∴2（m+1）=$\frac{2}{3}$（m²+5），
∴m₁=1，m₂=2，
又∵m≥2，
∴m=2．

點(diǎn)評 本題主要考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是求出m的取值范圍，此題難度一般．