Question

3．如圖，已知△ABC中，∠C=90°，∠EDF=90°，頂點D是斜邊AB的中點，角的兩邊分別交CA，CB于點E，F(xiàn)．
（1）探究AE，BF，EF之間存在何等量關系，并證明你的結論；
（2）將∠EDF繞其頂點旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別在AC，CB的延長線上，其他條件不變，（1）的結論還成立嗎？

Answer 1

分析 （1）AE²+BF²=EF²，連接CD，由△ABC為等腰直角三角形，得到AD=CD，且∠A=∠DCF=45°，再由∠EDF=90°，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得出△ADE與△CDF全等，利用全等三角形的對應邊相等得到AE=CF，再由AC=BC，得到CE=BF，在Rt△CEF中，利用勾股定理列關系式，等量代換即可得證；
（2）成立，連接接CD，由△ABC為等腰直角三角形，得到AD=CD=BD，且∠ACD=∠ABC=45°，得到一對鄰補角相等，再由∠EDF=90°，利用等式性質(zhì)得到一對角相等，利用ASA得出△CDE與△BDF全等，利用全等三角形的對應邊相等得到CE=BF，得到CE=BF，在Rt△CEF中，利用勾股定理列關系式，等量代換即可得．

解答 （1）AE²+BF²=EF²；
證明：如圖1，連接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D為AB的中點，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，∠A=∠DCF=45°，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
又∵∠EDF=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF=45°}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，又AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，即CE=BF，
在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得：CE²+CF²=EF²
則AE²+BF²=EF²；
（2）成立，
證明：如圖2，連接CD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，D為AB的中點，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，∠ACD=∠ABC=45°，
又∵∠EDF=∠CDB=90°，
∴∠EDF+∠FDC=∠CDB+∠FDC，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECD=∠FBD}\\{CD=BD}\\{∠CDE=∠BDF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，又AC=BC，
∴CF=BF-BC=CE-AC=AE，
在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得：CE²+CF²=EF²，
則AE²+BF²=EF²．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用了等量代換的思想，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．