Question

1．如果三角形有一邊上的中線長(zhǎng)恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”．

（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)畫一個(gè)“好玩三角形”；
（2）如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC=2β，點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為s．當(dāng)β=45°時(shí)，若△APQ是“好玩三角形”，試求$\frac{a}{s}$的值．

Answer 1

分析 （1）先畫一條線段AB，再確定AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，AB為半徑畫圓，在圓O上取一點(diǎn)C，連接AC、BC，則△ABC是所求作的三角形；
（2）取AC的中點(diǎn)D，連接BD，設(shè)BC=$\sqrt{3}$x，根據(jù)條件可以求出AC=2x，由三角函數(shù)可以求出BD=2x，從而得出AC=BD，從而得出結(jié)論；
（3）當(dāng)β=45°時(shí)，分情況討論，P點(diǎn)在AB上時(shí)，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，當(dāng)P在BC上時(shí)，延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，可以求出分情況討論，就可以求出$\frac{AE}{PE}$=$\frac{s}{2a-s}$，再分情況討論就可以求出當(dāng)AE=PQ時(shí)，$\frac{a}{s}$的值，當(dāng)AP=QM時(shí)，可以求出$\frac{a}{s}$的值．

解答 解：（1）如圖1，①作一條線段AB，
②作線段AB的中點(diǎn)O，
③以點(diǎn)O為圓心，AB為半徑畫圓，
④在圓O上取一點(diǎn)C，連接AC、BC，
∴△ABC是所求作的三角形（點(diǎn)E、F除外）；

（2）如圖2，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，
∵∠C=90°，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴設(shè)BC=$\sqrt{3}$x，則AC=2x，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=x
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{3{x}^{2}+{x}^{2}}$=2x，
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”；

（3）如圖3，當(dāng)β=45°，點(diǎn)P在AB上時(shí)，
∴∠ABC=2β=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，
當(dāng)P在BC上時(shí)，連接AC交PQ于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AB交QP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖4，
∵PC=CQ，
∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，
∴△AEF∽△CEP，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AF}{PC}$=$\frac{AB+BP}{PC}$=$\frac{s}{2a-s}$．
∵PE=CE，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{s}{2a-s}$．
Ⅰ當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等時(shí)，即AE=PQ時(shí)，
$\frac{AE}{PE}$=$\frac{s}{2a-s}$=2，
∴$\frac{a}{s}$=$\frac{3}{4}$，
Ⅱ當(dāng)腰AP與它的中線QM相等，即AP=QM時(shí)，
作QN⊥AP于N，如圖4，
∴MN=AN=$\frac{1}{2}$MP．
∴QN=$\sqrt{15}$MN，
∴tan∠APQ=$\frac{QN}{PN}$=$\frac{\sqrt{15}MN}{3MN}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴tan∠APE=$\frac{AE}{PC}$=$\frac{s}{2a-s}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴$\frac{a}{s}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道相似形綜合運(yùn)用的試題，考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，銳角三角形函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用三角函數(shù)值建立方程求解是解答的關(guān)鍵．