Question

2．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，CD=BD，過點D作⊙O的切線交邊AC于點F，交AB的延長線于點E．
（1）求證：EF⊥AC；
（2）若AF=9，EF=12，求OE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖所示．根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DF，得到∠ODF=90°．根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OD∥AC，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得到AE=$\sqrt{{9^2}+{{12}^2}}=15$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD，如圖所示．
∵DF是⊙O的切線，D為切點，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴EF⊥AC；
（2）解：∵AF=9，EF=12，EF⊥AC，
∴AE=$\sqrt{{9^2}+{{12}^2}}=15$，
∵OD∥AC，
∴△AEF∽△OED，
∴$\frac{OE}{AE}=\frac{OD}{AF}$，
即$\frac{OE}{15}=\frac{15-OE}{9}$，
∴OE=$\frac{75}{8}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．