Question

7．如圖，點A在⊙O上，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，連接OP交⊙O于點D，作AB⊥OP于點C，交⊙O于點B，連接PB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若PC=9，AB=6$\sqrt{3}$，
①求圖中陰影部分的面積；
②若點E是⊙O上一點，連接AE，BE，當AE=6$\sqrt{2}$時，BE=3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$或3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由PA切⊙O于點A得：∠PAO=90°，再證明△APO≌△BPO，所以∠PBO=∠PAO=90°，可得結論；
（2）①先根據(jù)垂徑定理得：BC=3$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理求圓的半徑OB的長，利用三角函數(shù)得：∠COB=60°，利用三角形的面積公式和扇形的面積公式分別求S_△OPB和S_扇形DOB的值，最后利用面積差得結論；
②②分兩種情況：
i）當點E在$\widehat{AFB}$上時，如圖2，作輔助線，構建直角三角形和等腰直角三角形，利用同弧所對的圓周角與半徑及勾股定理分別計算EH和BH的長，相加即可得BE的長；
ii）當點E在劣弧$\widehat{AB}$上時，如圖3，作輔助線，同理計算EH和BH的長，最后利用勾股定理求BE的長．

解答 （1）證明：如圖1，連接OB，
∵OP⊥AB，OP經過圓心O，
∴AC=BC，
∴OP垂直平分AB，
∴AP=BP，
∵OA=OB，OP=OP，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PAO=∠PBO，
∵PA切⊙O于點A，
∴AP⊥OA，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴OB⊥BP，
又∵點B在⊙O上，
∴PB與⊙O相切于點B；
（2）①解：如圖1，∵OP⊥AB，OP經過圓心O，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
∵∠PBO=∠BCO=90°，
∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，
∴∠PBC=∠BOC，
∴△PBC∽△BOC，
∴$\frac{BC}{OC}=\frac{PC}{BC}$
∴OC=$\frac{BC×BC}{PC}$=$\frac{3\sqrt{3}×3\sqrt{3}}{9}$=3，
∴在Rt△OCB中，OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6，tan∠COB=$\frac{BC}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠COB=60°，
∴S_△OPB=$\frac{1}{2}$×OP×BC=$\frac{1}{2}$×$（3+9）×3\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$，S_扇DOB=$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$=6π，
∴S_陰影=S_△OPB-S_扇DOB=18$\sqrt{3}$-6π；
②分兩種情況：
i）當點E在$\widehat{AFB}$上時，如圖2，作直徑AF，交⊙O于F，連接EF、EB，過O作OG⊥AE于G，過F作FH⊥EB于H，
∴EG=AG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×$6\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠OAB=30°，
∴∠BEF=∠OAB=30°，
Rt△OGE中，由①知：OA=6，
∴OG=$\sqrt{O{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴AG=OG，
∴△OGA是等腰直角三角形，
∴∠OAE=45°，
∴∠EBF=∠OAE=45°，
∵AF是⊙O的直徑，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=AE=6$\sqrt{2}$，
Rt△EHF中，∠BEF=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$EF=3$\sqrt{2}$，
∴EH=$\sqrt{E{F}^{2}-F{H}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{6}$，
Rt△BHF中，∵∠EBF=45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BH=FH=3$\sqrt{2}$，
∴BE=3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{6}$，
ii）當點E在劣弧$\widehat{AB}$上時，如圖3，
作直徑AF，并⊙O于F，連接OB、OE、BF，過B作BH⊥OE于H，
∵AF為⊙O的直徑，
∴∠ABF=90°，
∵∠BAF=30°，
∴∠F=∠BOF=60°，
∵OA=OE=6，AE=6$\sqrt{2}$，
∴OA²+OE²=AE²，
∴∠AOE=90°，
∴∠EOF=90°，
∴∠EOB=30°，
Rt△OHB中，BH=$\frac{1}{2}$OB=3，
∴OH=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴EH=6-3$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{B{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（6-3\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{72-36\sqrt{3}}$=3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$；
綜上所述，BE的長為3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$或3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$；
故答案為：3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$ 或3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的性質和判定、垂徑定理、三角函數(shù)、扇形的面積、三角形相似的性質和判定、圓周角定理，第2小問構建輔助線是關鍵，同時要采用分類討論的思想．