Question

12．如圖，直線y=-2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=-2x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）M為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)O，A，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可解決問(wèn)題．
（2）設(shè)P（m，-2m+4）則Q（-m，2m-4），把點(diǎn)Q坐標(biāo)代入y=-2x²+2x+4中，解方程即可解決問(wèn)題．
（3）分兩種情形討論①當(dāng)OA為平行四邊形OAMN的邊時(shí)，MN=0A=2，則N（m-2，-2m+4），把點(diǎn)N坐標(biāo)代入y=-2x²+2x+4中，解方程即可．②當(dāng)OA為對(duì)角線時(shí)，
因?yàn)镺A與MN互相平分，OA的中點(diǎn)（1，0），推出N（2-m，2m-4），把N點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-2x²+2x+4解方程即可．

解答 解：（1）∵直線y=-2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴A（2，0），B（0，4），
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-2x²+bx+c，
得到$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{-8+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-2x²+2x+4．

（2）設(shè)P（m，-2m+4）則Q（-m，2m-4），
把點(diǎn)Q坐標(biāo)代入y=-2x²+2x+4中，
得2m-4=-2m²-2m+4，
解得m=-1$±\sqrt{5}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1+$\sqrt{5}$，6-2$\sqrt{5}$）或（-1-$\sqrt{5}$，6+2$\sqrt{5}$）．

（3）設(shè)M（m，-2m+4），由題意A（2，0），
①當(dāng)OA為平行四邊形OAMN的邊時(shí)，MN=0A=2，則N（m-2，-2m+4），
把點(diǎn)N坐標(biāo)代入y=-2x²+2x+4中，
得-2m+4=-2（m-2）²+2（m-2）=4，
整理得m²-6m+6=0，
解得m=3±$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（3+$\sqrt{3}$，-2-2$\sqrt{3}$）或（3-$\sqrt{3}$，-2+2$\sqrt{3}$）．
②當(dāng)OA為對(duì)角線時(shí)，
∵OA與MN互相平分，OA的中點(diǎn)（1，0），
∴N（2-m，2m-4），
把N點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-2x²+2x+4，
得到2m-4=-2（2-m）²=2（2-m）+4，
整理得m²-2m-2=0，
解得m=1$±\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（1+$\sqrt{3}$，2-2$\sqrt{3}$）或（1-$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$）．
綜上所述滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（3+$\sqrt{3}$，-2-2$\sqrt{3}$）或（3-$\sqrt{3}$，-2+2$\sqrt{3}$）或（1+$\sqrt{3}$，2-2$\sqrt{3}$）或（1-$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論，注意不能漏解，屬于中考?jí)狠S題．