Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，點E、F分別是OA、OB的中點，且EC⊥AB，F(xiàn)D⊥AB，EC、FD交⊙O于C、D兩點，求證：$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$．

Answer 1

分析 連接OC，OD，根據(jù)同圓的半徑相等得到OA=OC=OD=OB，由于E、F分別是OA、OB的中點，于是得到OE=OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$OB，由EC⊥AB，F(xiàn)D⊥AB，得到∠CEO=∠DFO=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠ECO=∠FDO=30°，于是得到∠AOC=∠DOF=60°，即可得到結(jié)論．

解答 證明：連接OC，OD，
∵OA=OC=OD=OB，
∵E、F分別是OA、OB的中點，
∴OE=OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$OB，
∵EC⊥AB，F(xiàn)D⊥AB，
∴∠CEO=∠DFO=90°，
∴∠ECO=∠FDO=30°，
∴∠AOC=∠DOF=60°，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$．

點評 本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．