Question

20．在銳角三角形ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A₁BC₁．
（1）如圖1，當點C₁在線段CA的延長線上時，求∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）如圖2，點E為線段AB的中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉的過程中，點P的對應點是點P₁，求線段EP₁長度的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉的性質得∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，利用等腰三角形的性質得∠CC₁B=∠C₁CB=45°，于是得到∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=90°；
（2）如圖1，過點B作BD⊥AC，D為垂足，則點D在線段AC上，在Rt△BCD中利用三角函數(shù)可計算出BD=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，則當BP與AC垂直的時候，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P₁在線段AB上時，EP₁最小，最小值=EP₁=BP₁-BE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2；當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時，如圖2，EP₁最大，最大值=EP₁=BC+BE=7．

解答 解：（1）由旋轉的性質可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°；
（2）如圖1，過點B作BD⊥AC，D為垂足，
∵△ABC為銳角三角形，
∴點D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
當P在AC上運動，BP與AC垂直的時候，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P₁在線段AB上時，EP₁最小，最小值為：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2；
當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時，如圖2，EP₁最大，最大值為：EP₁=BC+BE=2+5=7．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．