Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax²-2ax+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，過B、C兩點的直線解析式為y=-x+b．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為拋物線上位于直線BC上方的一點，過點P作PD⊥BC于點D，垂足為點D．設(shè)P點的橫坐標為t，線段PD的長為d，求d與t的函數(shù)關(guān)系．
（3）過A作射線AQ，交拋物線的對稱軸于點M，點N是x軸正半軸上B點右側(cè)一點；BN的垂直平分線交射線AQ于點G，點G關(guān)于x軸的對稱點恰好在拋物線上．若$\frac{MG}{AN}$=$\frac{5}{8}$，求當（2）中的d最大時直線PN與x軸所夾銳角的正切值．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的解析式求出點C坐標，即可求出b，推出點A、B兩點坐標，利用待定系數(shù)法即可求出a．
（2）如圖1中，作PE⊥AB于F，交BC于E．設(shè)P（t，-t²+2t+3），則E（t，-t+3）．首先證明△PDE是等腰直角三角形，推出PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE，由此即可解決問題．
（3）如圖2中，設(shè)BN的垂直平分線交x軸于H，拋物線的對稱軸交x軸于D，作ML⊥GH于L．首先證明cos∠GML=cos∠GAH=$\frac{4}{5}$，由$\frac{3}{4}$AH=GH，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax+3與y軸交于點C，
∴C（0，3）
∵直線解析式為y=-x+b過B、C．
∴C（0，b），B（b，0），
∴b=3，
∴B（3，0），
∵拋物線的對稱軸為x=1，A、B關(guān)于對稱軸對稱，
∴A（-1，0），把A（-1，0）代入拋物線的解析式3a+3=0，
∴a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）如圖1中，作PE⊥AB于F，交BC于E．設(shè)P（t，-t²+2t+3），則E（t，-t+3）．

∵OC=OB=3，∠COB=90°，
∴∠COB=∠EFB=90°，
∴∠FEB=∠PED=45°，
∴d=PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-t²+2t+3+t-3）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t．（0＜t＜3）．
∴d=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t．（0＜t＜3）．

（3）如圖2中，設(shè)BN的垂直平分線交x軸于H，拋物線的對稱軸交x軸于D，作ML⊥GH于L．

∵GM：AN=5：8，設(shè)GM=5k，AN=8k，
∵AB=4，BD=2，
∴BN=8k-4，
BH=4k-2，
DH=DB+BH=4k，
∴cos∠GML=$\frac{ML}{MG}$=$\frac{4}{5}$，
∵ML∥AH，
∴∠GML=∠GAH，
∴cos∠GAH=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{3}{4}$AH=GH，
設(shè)G點橫坐標為m，
∵點G關(guān)于x軸的對稱點恰好在拋物線上，
∴G（m，m²-2m-3），
∴$\frac{3}{4}$（m+1）=m²-2m-3，
解得m=$\frac{15}{4}$或-1（舍棄），
∴點H（$\frac{15}{4}$，0），N（$\frac{9}{2}$，0）．
∵d=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t²+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，
∵-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜0，
∴t=$\frac{3}{2}$時，d有最大值，此時P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
∴此時直線PN與x軸所夾銳角的正切值=$\frac{\frac{15}{4}}{\frac{9}{2}-\frac{3}{2}}$=$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．