Question

16．如圖，鐵路上A、B兩地相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB，CB⊥AB垂足分別為A、B，已知DA=15km，CB=10，現(xiàn)在要在鐵路AB上修建一個(gè)物流中心E．
（1）如果C、D兩村莊到物流中心E的距離相等．那么物流中心E應(yīng)修建在離A地多少千米處？在圖中標(biāo)出物流中心E的位置，井說明理由．
（2）如果C、D兩村莊到物流中心E的距離之和最短，那么物流中心E應(yīng)修建在什么地方？在圖中標(biāo)出物流中心E的位置，并求出最短距離的平方．

Answer 1

分析 （1）關(guān)鍵描述語：產(chǎn)品收購站E，使得A、B兩村到E站的距離相等，在Rt△DBE和Rt△CAE中，設(shè)出CE的長，可將AE和BE的長表示出來，列出等式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形D′FC，再由勾股定理求解即可．

解答 解：（1）設(shè)CE=xkm，
∵A、B兩村到E站的距離相等，∴AE=BE，即AE²=BE²，
由勾股定理，得15²+x²=10²+（25-x）²，
解得：x=10．
故E點(diǎn)應(yīng)建在距C站10千米處；
（2）作D點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′C，再作D′F⊥BC于點(diǎn)F，此時(shí)DE+EC最短，即求出CD′的距離即可，
∵DA=10km，CB=15km，A、B兩點(diǎn)相距25km，
∴FC=25km，D′F=25km，
∴D′C²=FC²+D′F²=625+625=1300，
∴最短距離的平方是1300．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了軸對(duì)對(duì)稱求最短路徑以及勾股定理，得出E點(diǎn)位置進(jìn)而構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．