Question

13．如圖，AD∥BC，AB⊥BC，DC平分∠ADC，且E是AB的中點(diǎn)，問，AD，BC與CD之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 首先要作輔助線，連接CE，作EF⊥CD，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出AE=EF=BE，然后證△FDE≌△ADE及△FCE≌△BCE，推出AD=DF及BC=CF，即可得出答案．

解答 解：AD+BC=CD，
理由是：連接CE，作EF⊥CD，
∵AB⊥BC，AD∥BC，
∴AB⊥AD，
∵DE平分∠ADC，
∴EF=ED，
∵E為DC中點(diǎn)，
∴CE=BE，
∴EF=BE，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°=∠CFE，
在Rt△CFE和Rt△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=EF}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△CFE≌Rt△CBE（HL），
∴BC=CF，
同理可證Rt△ADE≌Rt△FDE（HL），
∴AD=DF
∵DF+CF=CD，
∴AD+BC=CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，熟悉角平分線性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．