Question

6．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+m²+m=0．
（1）求證：無論實(shí)數(shù)m取什么值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）試寫出一個(gè)m的值，使方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，并解這個(gè)方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△=1＞0，由此即可證出：無論實(shí)數(shù)m取什么值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）利用分解因式法解原方程，可得x₁=m，x₂=m+1，取m=1即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：在方程x²-（2m+1）x+m²+m=0中，△=[-（2m+1）]²-4×1×（m²+m）=1＞0，
∴無論實(shí)數(shù)m取什么值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：x²-（2m+1）x+m²+m=（x-m）（x-m-1）=0，
解得：x₁=m，x₂=m+1，
∴當(dāng)m=1時(shí)，方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，且方程的根為1和2．

點(diǎn)評 本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握“當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法解方程，解出x₁=m、x₂=m+1．