Question

15．如圖①，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（6，8），與BC交于點(diǎn)F．

（1）求反比例函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且△AOF的面積S=36，求OA的長和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）中的條件下，過點(diǎn)F作EF∥OB，交OA于點(diǎn)E（如圖②），點(diǎn)P為直線EF上的一個(gè)動點(diǎn)，連接PA，PO．是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中，求出k的值，即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)平行四邊形的中位線，可得E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)EF平行于x軸，可得F點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得EF的長，根據(jù)AC的長與EF長的關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得OA的長；
（3）分類討論：當(dāng)OA=OP=10時(shí)，當(dāng)AP=OA=10時(shí)，當(dāng)PA=OP時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（6，8），
∴k=6×8=48，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=$\frac{48}{x}$；
（2）由F是BC的中點(diǎn)，EF∥OB，得
E是OA的中點(diǎn)，E的橫坐標(biāo)為$\frac{0+6}{2}$=3，縱坐標(biāo)為$\frac{0+8}{2}$=4，即E（3，4）．
F的縱坐標(biāo)為4，當(dāng)y=4時(shí)，4=$\frac{48}{x}$，解得x=12，F(xiàn)（12，4），
EF=12-3=9，
AC=EF=6+9=15，
AC∥OB，
C（15，8）；
由勾股定理，得AO=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10；
（3）設(shè)P（x，4），當(dāng)OA=OP=10時(shí)，x²+4²=10²，解得x=±2$\sqrt{21}$，P₁（2$\sqrt{21}$，4），P₂（-2$\sqrt{21}$，4）；
當(dāng)AP=OA=10時(shí)，（x-6）²+（4-8）²=10²，解得x=6±$\sqrt{59}$，P₃（6+$\sqrt{59}$，4），P₄（6-$\sqrt{59}$，4）；
當(dāng)PA=OP時(shí)，（x-6）²+（4-8）²=x²+4²，解得x=3，P₅（3，4）；
綜上所述，P₁（2$\sqrt{21}$，4），P₂（-2$\sqrt{21}$，4）；P₃（6+$\sqrt{59}$，4），P₄（6-$\sqrt{59}$，4）；P₅（3，4）時(shí)，以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形中位線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．