Question

15．已知反比例函數(shù)y=$\frac{a+4}{x}$（a為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-4，2）．
（1）求a的值；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作直線AB與函數(shù)y=$\frac{a+4}{x}$的圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)C，且AB=3BC，過(guò)點(diǎn)A作直線AF⊥AB，交x軸于點(diǎn)F，求線段AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由反比例函數(shù)y=$\frac{a+4}{x}$（a為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-4，2），直接利用待定系數(shù)法求解即可求得答案；
（2）首先分別過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，易得△BCD∽△ACE，即可求得A的坐標(biāo)，由△ACE∽△FAE，即可求得答案．

解答 解：（1）∵圖象過(guò)點(diǎn)B（-4，2），代入y=$\frac{a+4}{x}$，
∴2=$\frac{a+4}{-4}$，
解得：a=-12；

（2）∵a=-12，
∴反比例函數(shù)解析式為$y=-\frac{8}{x}$，
分別過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，
∵AB=3BC，
∴$\frac{CB}{CA}=\frac{1}{4}$，BD=2，
∵AD∥BE，
∴△BCD∽△ACE，
∴$\frac{CB}{CA}=\frac{BD}{AE}$，
即$\frac{2}{AE}=\frac{1}{4}$，
∴AE=8．
∴把y=8代入$y=-\frac{8}{x}$，
得x=-1．
∴A（-1，8），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把A（-1，8），B（-4，2）代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}-k+b=8\\-4k+b=2\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=10\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=2x+10，
當(dāng)y=0時(shí)，2x+10=0，
解得：x=-5，
∴C（-5，0），
∴$AC=\sqrt{A{E^2}+C{E^2}}=\sqrt{{8^2}+{4^2}}=4\sqrt{5}$，
∵AF⊥AB，AE⊥CF，
∴△ACE∽△FAE，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{AE}{AF}$，
∴$\frac{4}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8}{AF}$，
解得：AF=8$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題．考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．