Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

1

2

x+b與拋物線y=-

1

2

x2-

1

2

x+3交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標為-4，點P為直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點Q，PH⊥AB于H．
（1）求b的值及sin∠PQH的值；
（2）設(shè)點P的橫坐標為t，用含t的代數(shù)式表示點P到直線AB的距離PH的長，并求出PH之長的最大值以及此時t的值；
（3）連接PB，若線段PQ把△PBH分成成△PQB與△PQH的面積相等，求此時點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令y=0，求出點A的坐標，然后把點A的坐標代入直線解析式，求出點B的值，然后根據(jù)點A和點C的坐標，求出OA和OC的長度，根據(jù)勾股定理求出AC的長度，根據(jù)PQ∥OC，可得∠PQH=∠OCA，然后求出sin∠PQH的值；
（2）求出點P和點Q的坐標，運用三角函數(shù)，求出PH的函數(shù)關(guān)系式，運用求最大值的方法求解即可．
（3）作BD⊥PQ交PQ的延長線于點D，由S_△PQB=S_△PQH，得出BQ=QH，利用三角函數(shù)求出QH和BQ的關(guān)系式，運用相等的關(guān)系求出t，即可得出點P的坐標．

解答：解：（1）令y=0得：-

1

2

x²-

1

2

x+3=0，化簡x²+x-6=0，解得x₁=-3，x₂=2，
∴A（2，0），
∵A（2，0）在直線y=

1

2

x+b上，
∴1+b=0，解得b=-1，
∴OC=1，OA=2，
∴AC=

OC2+OA2

=

5

，
∵PQ∥OC，
∴∠PQH=∠OCA，
∴sin∠PQH=sin∠OCA=

2

5

=

2 5

5

．
（2）∵P（t，-

1

2

t²-

1

2

t+3），Q（t，

1

2

t-1），
∴PQ=-

1

2

t²-t+4，
sin∠PQH=

2 5

5

．
∴PH=（-

1

2

t²-t+4）×

2

5

=-

5

5

（t²+2t）+

8 5

5

=-

5

5

（t+1）²+

9 5

5

，
∴當t=-1時，PH有最大值為

9 5

5

，
（3）如圖，作BD⊥PQ交PQ的延長線于點D，設(shè)點P的橫坐標為t，

∵S_△PQB=S_△PQH，
∴BQ=QH，
在RT△PHQ中，
∵sin∠PQH=

2

5

，
∴QH：PH：PQ=1：2：

5

，
∴QH=

1

5

PQ=

1

5

×（-

1

2

t²-t+4），
在RT△BDQ中，
∵∠BQD=∠PQH，
∴sin∠BQD=sin∠PQH=

2

5

．
∴

BD

BQ

=

2

5

，
∴BQ=

5

2

BD=

5

2

（t+4），
∵BQ=QH，
∴

5

2

（t+4）=

1

5

×（-

1

2

t²-t+4），
∴t²+7t+12=0，
∴t₁=-3，t₂=-4（舍去），
∴P（-3，0）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用，涉及勾股定理，三角函數(shù)及方程，解題的關(guān)鍵是找準相等解的關(guān)系利用三角函數(shù)求解．