Question

16．如圖，一艘輪船航行到B處時(shí)，測(cè)得小島A在船的北偏東60°的方向，輪船從B處繼 續(xù)向正東方向航行200海里到達(dá)C處時(shí)，測(cè)得小島A在船的北偏東30°的方向．己知在小島周?chē)?70海里內(nèi)有暗礁，若輪船不改變航向繼續(xù)向前行駛，試問(wèn)輪船有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？（$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 如圖，直角△ACD和直角△ABD有公共邊AD，在兩個(gè)直角三角形中，利用三角函數(shù)即可用AD表示出CD與BD，根據(jù)CB=BD-CD即可列方程，從而求得AD的長(zhǎng)，與170海里比較，確定輪船繼續(xù)向前行駛，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)．

解答 解：該輪船不改變航向繼續(xù)前行，沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)
理由如下：如圖所示．
則有∠ABD=30°，∠ACD=60°．
∴∠CAB=∠ABD，
∴BC=AC=200海里．
在Rt△ACD中，設(shè)CD=x海里，
則AC=2x，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABD中，AB=2AD=2$\sqrt{3}$x，
BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}x）^{2}-（\sqrt{3}x）^{2}}$=3x，
又∵BD=BC+CD，
∴3x=200+x，
∴x=100．
∴AD=$\sqrt{3}$x=100$\sqrt{3}$≈173.2，
∵173.2海里＞170海里，
∴輪船不改變航向繼續(xù)向前行使，輪船無(wú)觸礁的危險(xiǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形的計(jì)算，一般的三角形可以通過(guò)作高線轉(zhuǎn)化為解直角三角形的計(jì)算，計(jì)算時(shí)首先計(jì)算直角三角形的公共邊是常用的思路．