Question

1．如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E．
（1）求證：AB•AF=CB•CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射線DE上的動點．設(shè)DP=x cm（x＞0），四邊形BCDP的面積為y cm²．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）先利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC，則可判斷Rt△DFA∽Rt△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得AB•AF=BC•AD，然后利用AD=CD代換即可得到結(jié)論；
（2）連結(jié)PC，如圖，先在Rt△ACB中利用勾股定理計算出AC=12，再利用等腰三角形的性質(zhì)AF=FC=$\frac{1}{2}$AC=6，接著證明DE∥BC，則P點到BC的距離等于CF，然后根據(jù)三角形面積公式和y=S_△CPD+S_△BCP即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)解析式．

解答 （1）證明：∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠BAC=90°，∠BAC+∠B=90°，
∴∠B=∠DAC，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴Rt△DFA∽Rt△ACB，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即AB•AF=BC•AD，
而AD=CD，
∴AB•AF=CB•CD；
（2）解：連結(jié)PC，如圖，
在Rt△ACB中，∵AB=15，BC=9，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=12，
∵DF⊥AC，DA=DC，
∴AF=FC=$\frac{1}{2}$AC=6，
∵∠DFC=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴P點到BC的距離等于CF，
∴y=S_△CPD+S_△BCP
=$\frac{1}{2}$•x•6+$\frac{1}{2}$•9•6
=3x+27（x＞0）．

點評 本題考查了相似三角形的判斷與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，合理利用直角的作用．也考查了利用三角形面積公式列函數(shù)關(guān)系式．把四邊形的面積化為兩三角形面積的和是求函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵．