Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，DE是中位線，則圓心在直線AC上，且與DE、AB都相切的⊙O的半徑長(zhǎng)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),三角形中位線定理

專(zhuān)題：

分析：首先根據(jù)勾股定理求得BC的長(zhǎng)，以及OA的長(zhǎng)，然后分O在線段AE上和在線段EC上，兩種情況進(jìn)行討論，過(guò)O作AB的垂線OF，則OF=OE，都等于圓的半徑，根據(jù)△ABC∽△AOF即可求解．

解答：解：在直角△ABC中，BC=

AB2-AC2

=

102-82

=6，
∵DE是中位線，
∴DE=

1

2

BC=3，AE=EC=

1

2

AC=4，
設(shè)⊙O的半徑長(zhǎng)是x，則當(dāng)圓心O在線段AE上是時(shí)，作OF⊥AB于點(diǎn)F，則OF=x，OA=4-x，
△ABC∽△AOF，
∴

AB

OA

=

OF

BC

，即

10

4-x

=

x

6

，
解得：x=

3

2

；
當(dāng)O在線段EC上時(shí)，設(shè)圓的半徑是y，則OA=4+y，同理求得y=6．
故半徑長(zhǎng)是

3

2

或6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意到兩種情況，進(jìn)行討論是關(guān)鍵．