Question

10．如圖所示，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=3，與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為A（8，0），直線y=$\frac{1}{2}$x+4與拋物線交于y軸上的點(diǎn)C．
（1）求拋物線的關(guān)系式；
（2）拋物線y=ax²+bx+c與直線y=$\frac{1}{2}$x+4的另一個交點(diǎn)為D，連接CA、DA，求△CDA的面積．

Answer 1

分析 （1）根直線方程求得點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4），把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)關(guān)系式，以及對稱軸方程聯(lián)立方程組即可求得系數(shù)的值；
（2）過點(diǎn)D作DE垂直于x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，由拋物線與直線的方程求得交點(diǎn)D的坐標(biāo)．然后由三角形的面積公式進(jìn)行解答．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{1}{2}$x+4與拋物線交于y軸上的點(diǎn)C，
∴C的坐標(biāo)是（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=3}\\{0=64a+8b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4；

（2）過點(diǎn)D作DE垂直于x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4}\\{y=\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$得到：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=6}\end{array}\right.$，
則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，6）．
易求直線AC的方程為：y=-$\frac{1}{2}$x+4．
∴F（4，2），
∴S_△CDA=$\frac{1}{2}$DF•（x_A-x_C）=16．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題時，注意“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．