Question

14．如圖1，平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過點D（2，4），且與x軸交于A（3，0），B兩點，與y軸交于點C，連接AC，CD，BC．
（1）該拋物線的解析式；
（2）如圖2，點P是所求拋物線上的一個動點，過點P作x軸的垂線l，l分別交x軸于點E，交直線AC于點M，設點P的橫坐標為m，當0＜m≤2時，過點M作MG∥BC，MG交x軸于點G，連接GC，則m為何值時，△GMC的面積取得最大值，并求出這個最大．
（3）如圖3，Rt△A₁B₁C₁中，∠A₁C₁B₁=90°，A₁C₁=1，B₁C₁=2，直角邊A₁C₁在x軸上，且A₁與A重合，當Rt△A₁B₁C₁沿x軸從右向左以每秒1個單位長度的速度移動時，設△A₁B₁C₁與△ABC重疊部分的面積為S，求當S=$\frac{4}{5}$時，△A₁B₁C₁移動的時間t．

Answer 1

分析 （1）把D（2，4），A（3，0）代入y=ax²+bx+4解方程組即可．
（2）由GM∥BC，OC∥EM，推出$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AE}{AO}$，得AG=$\frac{4}{3}$（3-m），GB=$\frac{4}{3}$m，由S_△MGC=S_△BMG構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問題．
（3）分兩種情形①如圖3中，重疊部分是四邊形EFB₁C₁，列出方程即可解決問題．②如圖4中，當重疊部分是四邊形EBB₁C₁時，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）把D（2，4），A（3，0）代入y=ax²+bx+4得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+4=4}\\{9a+3b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4．

（2）如圖2中，連接BM．

∵直線AC解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴點M坐標（m，-$\frac{4}{3}$m+4），E（m，0），
∵GM∥BC，OC∥EM，
∴$\frac{AG}{AB}$=$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AE}{AO}$，
∴AG=$\frac{4}{3}$（3-m），
∴GB=$\frac{4}{3}$m，
∵S_△MGC=S_△BMG=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$m•（-$\frac{4}{3}$m+4）=-$\frac{8}{9}$（m-$\frac{3}{2}$）²+2．
∵a=-$\frac{8}{9}$＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$時，△GMC的面積取得最大值，這個最大值為2．

（3）如圖3中，重疊部分是四邊形EFB₁C₁，

∵直線A₁C₁的解析式為y=2（x+t）-6，直線CA解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2（x+t）-6}\\{y=-\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$得到點E（-$\frac{3}{5}t$+3，$\frac{4}{5}$t），
∵F[4-t，-$\frac{4}{3}$（4-t）+4]，
由題意$\frac{1}{2}$•[4-t-（-$\frac{3}{5}$t+3）]•[2-$\frac{4}{3}$（t-1）]=$\frac{1}{5}$，
整理得到2t²-10t+11=0，
∴t=5-$\sqrt{3}$或5+$\sqrt{3}$（舍棄）．
如圖4中，當重疊部分是四邊形EBB₁C₁時，

∵直線BC解析式為y=4x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x+4}\\{y=2（x+t）-6}\end{array}\right.$可得E（t-5，4t-16），
由題意$\frac{1}{2}$•（t-4）•（4t-16）=$\frac{1}{5}$，
解得t=4+$\frac{\sqrt{10}}{10}$或4-$\frac{\sqrt{10}}{10}$（舍棄），
綜上所述t=5-$\sqrt{3}$或4+$\frac{\sqrt{10}}{10}$秒時，△A₁B₁C₁與△ABC重疊部分的面積為$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、待定系數(shù)法、平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題，學會分類討論，學會利用方程組求兩個函數(shù)交點坐標，屬于中考壓軸題．