Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2，3），B（4，5），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)．求：
①PA+PB的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②|PA-PB|的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先畫出圖形，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上時(shí)PA+PB的值最小，即PA+PB=AB，利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可，然后過點(diǎn)B作BD⊥x軸垂足為D，接下來證明△CPA′∽△DPB，由相似三角形的性質(zhì)可求得PC的長，從而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）作直線AB與x軸交與點(diǎn)P，作AC⊥x軸，BD⊥x軸．PA-PB|的最大值=AB，然后證明△PAC∽△PBD，從而可求得PC的長，故此可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1所示：作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B交x軸與點(diǎn)P．

∵點(diǎn)A′關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-2，-3）．
∴AP+BP=A′P+PB=A′B=10．
∴PA+PB的最小值為10．
過點(diǎn)B作BD⊥x軸垂足為D．
∵△CPA′∽△DPB，
∴CP：DP=CA′：BD=3：5．
又∵CD=6，
∴CP=6×$\frac{3}{8}$=$\frac{9}{4}$．
∴OP=$\frac{1}{4}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{1}{4}$，0）．
（2）如圖2所示，作直線AB與x軸交與點(diǎn)P，作AC⊥x軸，BD⊥x軸．

當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，|PA-PB|的最大值=AB=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
∵AC∥BD，
∴△PAC∽△PBD．
∴$\frac{PC}{PD}=\frac{PA}{PB}$即$\frac{PC}{PC+6}=\frac{3}{5}$．
解得PC=9．
∴PO=9+2=11．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-11，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是線路最短問題，解答此題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合及兩點(diǎn)間的距離公式求解．