Question

8．直線l經(jīng)過等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A，如圖1，且l⊥AC，AC=AB=BC=4，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿射線AM運(yùn)動(dòng)，連接PC，將△ACP繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCQ，記點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q，線段PA=m（m≥0），當(dāng)點(diǎn)Q恰好落在直線l上時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．
（1）在圖1中，當(dāng)∠ACP=20°，求∠BQC的值；
（2）在圖2中，已知BD⊥l于點(diǎn)D，QE⊥l于點(diǎn)E，ΩF⊥BD于點(diǎn)F，試問：∠BQF的值是否會(huì)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而改變？若不會(huì)，求出∠BQF的值；若會(huì)，請(qǐng)說明理由．
（3）在圖3中，連接PQ，記△PAQ的面積為S，請(qǐng)求出S與m的函數(shù)關(guān)系式（并直接寫出m的取值范圍），并求出當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值？最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可解答；
（2）設(shè)∠ACP=α，可求出∠ACQ=60°-α，由CA∥EQ，得到∠EQC=120°+α，易證四邊形EDFQ是矩形，可知∠EQF=90°，又在Rt△BQC中，∠BQC=90°-α，可知∠BQF=360°-∠EQC-∠EQF-∠BQC=60°，故∠BQF的值不會(huì)隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而改變大小，始終為一定值．
（3）線段PA的長(zhǎng)為m，用m表示出EQ，根據(jù)S=$\frac{1}{2}$AP•EQ，可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式，然后用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．

解答 解：（1）∵AC⊥l，
∴∠CAP=90°，
又∵∠ACP=20°，
∴∠APC=70°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BQC=∠APC，
∴∠BQC=70°；
（2）∠BQF的值不會(huì)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而改變；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=60°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠ACP=∠BCQ，
∴∠PCQ=∠ACB=60°，
設(shè)∠ACP=α，
∴∠ACQ=60°-α，
∵AC⊥l，EQ⊥l，
∴AC∥EQ，
∴∠CEQ=180°-（60°-α）=120°+α，
又∵BD⊥l，QE⊥l，QF⊥BD，
∴四邊形DEQF是矩形，
∴∠EQF=90°，
又∵∠BQC=∠APC=90°-α，
∠BQF=360°-90°-（120°+α）-（90°-α）=60°；  
∴∠BQF的值不會(huì)隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而改變大小，始終為一定值，此定值為60°；
（3）∵AP=4，BD⊥l，∠BAD=90°-60°=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵QB=AP=m，BD⊥QF，∠BQF=60°，
∴BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，又四邊形DEQF是矩形，
∴EQ=DF=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•EQ=$\frac{1}{2}$m（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m），
即S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+m（0≤m≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
當(dāng)m=-$\frac{1}{2×（-\frac{\sqrt{3}}{4}）}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，
∵-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，0＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S有最大值，最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何變換綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、二次函數(shù)的最值等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．