Question

3．如圖，△ABD≌△CDB，且∠ADB=∠ABD，△ABD的面積是2$\sqrt{3}$，AB=2，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 2
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由△ABD≌△CDB可知AB=CD、AD=BC，從而可證明四邊形ABCD是平行四邊形，由∠ADB=∠ABD可知AB=AD，從而可知四邊形ABCD是菱形，然后根據(jù)菱形的面積公式可求得菱形的高，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對稱點(diǎn)P′，連接P′Q與BD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)K，然后根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)可知P′Q⊥CD時PK+QK的最小值，然后求解即可．

解答 解：如圖所示：作點(diǎn)P關(guān)于BD的對稱點(diǎn)P′，連接P′Q與BD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)K．

∵△ABD≌△CDB，
∴AB=CD、AD=BC．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD．
∴四邊形ABCD是菱形．
由菱形的面積公式可知：菱形的高=4$\sqrt{3}÷2$=2$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)P′到CD的距離為2$\sqrt{3}$．
∴PK+QK的最小值為2$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對稱確定最短路線問題，熟記菱形的軸對稱性和利用軸對稱確定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵．