Question

【題目】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，的邊平行于軸．若的三個頂點都在二次函數(shù)的圖像上，則稱為該二次函數(shù)圖像的“伴隨三角形”．為拋物的“伴隨三角形”．

（1）若點是拋物線與軸的交點，求點的坐標(biāo)．

（2）若點在該拋物線的對稱軸上，且到邊的距離為2，求的面積．

（3）設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，比較與的大小，并求的取值范圍．

（4）是拋物線的“伴隨三角形”，點在點的左側(cè)，且，點的橫坐標(biāo)是點的橫坐標(biāo)的2倍，設(shè)該拋物線在上最高點的縱坐標(biāo)為，當(dāng)時，直接寫出的取值范圍和面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）當(dāng)時，，當(dāng)，且時，；（4），

【解析】

（1）由軸及伴隨三角形的定義，拋物線的對稱軸可得答案．

（2）由題意得：為拋物線的頂點，求解的坐標(biāo)，結(jié)合已知條件，得到的坐標(biāo)，進而求出與上的高可得的面積．

（3）先寫出兩點坐標(biāo)，由 軸，當(dāng)為拋物線的頂點時，不存在，當(dāng)兩點的縱坐標(biāo)相等時，不存在，求解對應(yīng)的的值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分段得到答案，

（4）由求解拋物線的對稱軸，分討論最高點的位置，求解最高點在縱坐標(biāo)，代入，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解的范圍，再求解面積的最大值．

（1）當(dāng)時，，∴

對稱軸：，

軸，

∴

（2）在拋物線上，也在對稱軸上，

為拋物線的頂點，

當(dāng)時，

∴

到邊的距離為2，

∴

∴當(dāng)時，

，

∴，

∴

∴

（3），

①當(dāng)時，為拋物線的頂點，所以不成立，

②當(dāng)

解得：，，

此時結(jié)合題意：軸，不成立

③當(dāng)時，如圖

結(jié)合圖像得：，

④當(dāng)且時，結(jié)合圖像可得：

⑤當(dāng)時，結(jié)合圖像可得：

綜上：

當(dāng)時，

當(dāng)，且時，．

（4）

頂點

①當(dāng)時，即

當(dāng)時

當(dāng)

解得：

由二次函數(shù)的性質(zhì)得：

由，

為任意數(shù)

∴

②當(dāng)時，

即：，頂點的縱坐標(biāo)最大，

，

∴

綜上

當(dāng)時，

軸，

此時，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，時

∴

此時面積最大，最大面積是