Question

如圖，已知△ABC的內切圓O切AC于點K，D是AC的中點，求證：直線DO平分線段BK．

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心

專題：證明題

分析：首先證明△ABC的內切圓O切BC于點D，過點D作⊙O直徑DE，連接AE，并延長交BC于點F，則BF=CD，進而利用所證結論得出直線DO平分線段BK．

解答：證明：設△ABC的內切圓O切BC于點D，過點D作⊙O直徑DE，連接AE，
并延長交BC于點F，則BF=CD，令⊙O分別切AB、AC于點M、N，
過點E作GH∥BC，分別交AB、AC于點G、H，
則GH切⊙O于點E，
且△AGE∽△ABF，△AGH∽△ABC，
記△AGH與△ABC的周長分別為：2p′，2p，
則AG+GE=AG+GM=AM=AN=AH+HN=AH+HE=p′，
于是：

p′

p

=

2p′

2p

=

AG

AB

=

GE

BF

=

AG+GE

AB+BF

=

p′

AB+BF

，
即有p=AB+BF，
故BF=p-AB=CD，
過點K作直徑KE，連接BE，并延長交AC于點F，由上述定理知AF=KC，
∴AC的中點D也是FK的中點，
又∵O是KE的中點，
∴DO∥EF，
∴直線DO平分線段BK．

點評：此題主要考查了三角形內心的知識以及相似三角形的判定與性質等知識，首先證明得出AF=KC是解題關鍵．