Question

如圖，拋物線與x軸相交于A（-7，0），B（8，0），與y軸相交于C（0，6），動點P從點C出發(fā)沿CB邊以每秒1個單位長的速度向B勻速運動，到達B后停止，動點Q從B出發(fā)沿BA也以每秒1個單位長的速度向A勻速運動，P、Q同時出發(fā)，P停止時，Q也隨之停止，設P、Q運動的時間為t秒．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點Q在何位置時，△BPQ與△ABC相似？
（3）若DE是線段PQ的垂直平分線且垂足為D，
①點Q在什么位置時，DE過C點？
②當直線DE與AC邊有交點時，設交點為M，則四邊形AMDQ能否成為直角梯形？若能，請直接寫出Q點的坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由條件設拋物線的解析式為y=（x+7）（x-8），將C（0，6）直接代入解析式，求出a的值即可；
（2）根據(jù)分類思想，當△PBQ∽△CBA時和當△PQB∽△ACB時，由相似三角形的性質就可以求出t的值就可以求出Q的坐標；
（3）①根據(jù)垂直平分線的性質運用勾股定理建立方程求出t的值就可以求出結論；
②由相似三角形的性質就可以求出t的值，而得出Q的坐標，由平行線的性質就可以得出∠AMD=90°，進而得出四邊形AMDQ為直角梯形．

解答：解：（1）由題意設拋物線的解析式為y=（x+7）（x-8）．
∵C（0，6）在函數(shù)圖象上，
∴6=-56a，
∴a=-

3

28

．
∴拋物線的解析式為：y=-

3

28

（x+7）（x-8）=-

3

28

x2+

3

28

x+6．
答：拋物線的解析式為：y=-

3

28

x2+

3

28

x+6；

（2）∵A（-7，0），B（8，0），C（0，6），
∴OA=7，OB=8，OC=6．
∴AB=15．
在Rt△AOC和Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=

85

，BC=10．
∵CP=BQ=t，
∴BP=10-t．
∴sin∠OBC=

3

5

，cos∠OBC=

4

5

．
∴PE=

3

5

BP=6-

3

5

t，BE=8-

4

5

t．
∴QE=

4

5

t，
∴P（

4

5

t，6-

3

5

t），Q（8-t，0）．
當△PBQ∽△CBA時，
∴

BP

BC

=

BQ

AB

，
∴

10-t

10

=

t

15

，
∴t=6．
∴Q（2，0）；
當△PQB∽△ACB時，
∴

PB

AB

=

QB

CB

，
∴

10-t

15

=

t

10

，
∴t=4．
∴Q（4，O）；

（3）①連接CQ．
∵點D是PQ的中點，且ED⊥PQ，
∴CQ=CP=t，
∵BQ=t，
∴OQ=8-t，
在Rt△OQC中，由勾股定理，得
36+（8-t）²=t²，
解得：t=6.25，
∴BQ=6.25，
∴OQ=1.75，
∴Q（1.75，0）．
∴點Q在（1.75，0）時，DE過C點；
②如圖4
∵當△PBQ∽△CBA時，t=6，
∴∠BPQ=∠BCA，0Q=2，
∴PQ∥AC，Q（2，0）
∴∠AMD=∠QDS．
∵MD⊥PQ，
∴∠QDS=90°，
∴∠AMD=90°．
∵PQ∥AC，
∴四邊形AMDQ是直角梯形．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運用，相似三角形的性質的運用，中垂線的性質的運用，勾股定理的運用，直角梯形的判定及性質的運用，解答時求出二次函數(shù)的解析式是關鍵．